Відкриті уроки

Алгебра.9 клас. Тема уроку:Прогресії. Розв’язування задач прикладного змісту

20.03.2017                         Алгебра                            9-Б клас

Тема уроку: Прогресії. Розв’язування задач прикладного змісту.

Мета уроку: сформувати в учнів уміння застосовувати формули n-го члена арифметичної та геометричної прогресій, формули сум арифметичної та геометричної прогресій для розв’язування прикладних задач; розвивати самостійність, логічне мислення, пам’ять, увагу; виховувати наполегливість, вимогливість до себе, дисциплінованість.

Очікувані результати: учні повинні знати формули n-го члена арифметичної прогресії, геометричної прогресії, формули сум геометричної та арифметичної прогресій і вміти застосовувати ці формули під час розв’язування задач прикладного характеру

Обладнання: підручник, роздавальний матеріал,проектор,ноутбук

Тип уроку: урок удосконалення знань, умінь і навичок.

Епіграф: «Без звички працювати,без уміння долати труднощі,без дисципліни праці немає людини . А саме до цього й привчає математика»

                                                                                        М.І.Кодак

Організаційний етап уроку

1.Привітання

2.Перевірка готовності учнів до уроку. Обмін зошитів для перевірки домашнього завдання.

3.Розгадування кросворду.         Кросворд по темі «Послідовності»

1п

о

с

л

і

д

о

в

н

і

с

т

ь

2р

е

к

у

р

е

н

т

н

и

й

3п

о

п

е

р

е

д

н

і

й

4п

р

о

г

р

е

с

5ф

о

р

м

у

л

а

6ч

л

е

н

и

7с

п

а

д

н

а

8р

і

з

н

и

ц

я

9м

р

і

ї

По горизонталі:

1.Сукупність елементів, об’єднаних за певною ознакою і розміщених в           певному порядку.

2. Один із способів задання послідовностей.

3.Як називають член послідовності, що передує даному?

4.Рух вперед, поступове вдосконалення.

5.Правило, записане за допомогою рівності

6.Числа, що задають послідовність.

7. Вид послідовності.

8.Число d; або одна із арифметичних дій математики.

9.Думка про щось бажане, наприклад : думки вчителя – ідеаліста, навчити математики всіх своїх учнів хоча б на 10.

По вертикалі: 1. Прогресії

ІІ Оголошення теми уроку

Математичний розбір теми (прогресії,прикладний зміст)

ІІІ Формулювання мети й завдань уроку,мотивація навчальної діяльності

Формули й поняття, що вивчаються в темі «Числові послідовності», мають широке практичне застосування. Але важливо вміти розпізнати в прикладній задачі відповідну послідовність. Саме це дає змогу скласти математичну модель задачі, застосувавши необхідну формулу.

І  Актуалізація опорних знань

1.Робота в парах за листами опитування

▪ Фронтальне опитування

1. Що називають числовою послідовністю?

2. Які способи задавання числових послідовностей ви знаєте? Наведіть приклади.

3. Сформулюйте означення арифметичної прогресії.

4. Наведіть приклади послідовностей, які є арифметичними прогресіями.

5. Чи можна вважати арифметичну прогресію заданою, якщо відомі її перший член і різниця?

6. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.

7. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії.

8. Запишіть формулу суми перших n членів арифметичної прогресії.

9. Сформулюйте означення геометричної прогресії.

10. Наведіть приклади послідовностей, які є геометричними прогресіями.

11. У якому випадку можна вважати геометричну прогресію заданою?

12. Сформулюйте властивості геометричної прогресії.

13. Запишіть формулу n-го члена геометричної прогресії.

14. Запишіть формулу суми перших n членів геометричної прогресії.

15. Запишіть формулу суми нескінченної геометричної прогресії зі знаменником .

2.Заповнення таблиці формул

	Арифметична прогресія	Геометрична прогресія
Формула n-гочлена
Рекурентна формула
Формула суми nперших членів
Властивості

Закінчити  речення

1.. Закінчити речення (усно):

а)   Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, ...

б)    n-й член геометричної прогресії дорівнює добутку його першого члена на ...

в)   Сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює...2. Назвати два наступні члени прогресії:

а) 0,5; 0,25; 0,125

 б)1;-3;9;...

в) 5;-5; 5;

3. Охарактеризуйте кожну з послідовностей:

а) 3; 7; 11; 15;...

б) 5; 10; 20;...

в) 7; 7; 7; 7;...
г)1;3;5;8;11...

4. Чи всі записи правильні:

а) ;

б) ;

в) ;

г) 200; 20; 2- арифметична прогресія?

Заповнення таблиць

Заповніть таблиці.

Таблиця 1. Арифметична прогресія 

		d		n
1	2		59	20
2	5	–1		4
3			5	2	20
4	1		–6		–20
5	10	8	82

Таблиця 2. Геометрична прогресія 

		q		n
1	1	2		3
2	64		1
3		2	320	4
4	3		48	5
5	1	2		4

Зразок заповнення таблиць.

Таблиця 1. Арифметична прогресія 

		d		n
1	2	3	59	20	610
2	5	–1	2	4	14
3	15	–10	5	2	20
4	1	–1	–6	8	–20
5	10	8	82	10	460

Таблиця 2. Геометрична прогресія 

		q		n
1	1	2	4	3	7
2	64		1	4	85
3	20	2	320	4	300
4	3		48	5	93; 33
5	1	2		4	–15

5.Прогресії навколо нас

Задача 1

1.Прогресії в побуті. Складування дров (колод)

25 колод в першому ряду

В кожному наступному на 1 колоду менше

Рядів 8

 Скільки колод можна складувати?

Арифметична прогресія із різницею -1,першим членом 25,кількість членів 8.

Сума буде 172

Задача 2: Легенда про винахід шахів.

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський цар Шерам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих в ній ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому:

"Я хочу гідно нагородити тебе, Сета, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, щоб виконати будь-яке твоє бажання."

"Володарю, - відповів Сета, - накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу - 2 зернини, за третю - 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню".

"Ти одержиш свої зерна. Але знай, що твоє прохання не варте моєї щедрості. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок із пшеницею".

На другий день придворні математики з'явились до царя.

"Ми ретельно обчислили, - говорили вони йому, - усю кількість зерна, що бажає одержати Сета. Число таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі. І якщо ти обов'язково хочеш видати нагороду, то накажи перетворити всі царства в поля, висушити всі річки та озера, розчинити криги та сніги. Увесь цей простір засій пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою винагороду."

Зі здивуванням слухав цар Ширам слова вчених. "Напишіть же мені це дивовижне число"- сказав він.

Розв'язання:

Кількість зернин, про які йдеться в задачі, є сумою 64 членів геометричної прогресії, у якої ,

=18446744073709551615, що приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів.

Якщо таку кількість зернин рівномірно розсипати по всій земній поверхні, то утвориться шар пшениці товщиною 9-мм.

Задача3  Поширення чуток

До нашого міста з 50-тисячним на­селенням о 8-й годині ранку прибув мешканець столиці і привіз свіжу, ціка­ву для всіх новину. У будинку, де зупи­нився приїжджий, він повідомив нови­ну лише трьом місцевим жителям. Це зайняло, скажімо, 15 хв, тобто о 8.15 новина була відома лише чотирьом: приїжджому і трьом місцевим жителям. Довідавшись про цю новину, кожний із трьох громадян розповів про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Кожний з дев'яти, які довідалися про новину, поділився нею в найближчі 15 хв із трьома іншими мешканцями міста. Якщо чутка поширюватиметься і надалі з такою самою швидкістю, то скільки пройде часу, перш ніж усемісто дізнається про неї?

Розв'язання

Маємо геометричну прогресію 1, З, 9, 27,.... Обчислимо, при яких п її сума ста­не більшою за 50 000. 3ⁿ > 100 001,  n=10. Пройде 10 разів по 15 хвилин, тобто 2 год 30 хв і о 10.30 новина буде відома всьому місту

Для села Суботці необхідно 2 години 15 хвилин (n=9)

Задача 4 Прогресії в біології

Задача 5 Прогресії в техніці

   Психологічне розвантаження

Тут ми маємо на меті познайомитися із ще одним з відомих математиків. Про один цікавий епізод з життя німецького математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).

Коли йому було 9 років, учитель, прагнучи надовго зайняти дітей, задав на уроці наступну задачу:

“Порахувати суму всіх натуральних чисел від 1 до 40”

Напрочуд учителя – один з учнів (це був Гаусс) через хвилину викрикнув: “Я вже розв'язав”. У зошиті Гаусса було тільки одне число, але зате вірне.

Учням пропонується розв'язати ту саму задачу, адже 9 – літній Гаусс із нею впорався. Міркування Гаусса – як перевірка:

1+2+3+4+…+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101x50=5050.

Із цього факту відбулася проста формула   арифметичної прогресії

У нашім житті таких задач зустрічається дуже багато в різних галузях науки.

Задача 6. Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі 1к, за другий - 2к, за третій - 4к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів за таких умов?

Розв'язання:

Від фірми отримуємо - 2000 грн, а повинні будемо заплатити за це суму, що дорівнює сумі 20 членів геометричної прогресії, де . Тобто:

1048575(коп.)=10485грн. 75к

Вчитель робить зауваження, що в сучасних ринкових умовах учні повинні бути компетентними у фінансових питаннях, і тому освіченість особистості, як ніколи, на першому місці.

Робота з програмою Офіс

VI. Самостійне виконання учнями практичних завдань

▪ Самостійна робота

Варіант 1

Початковий і середній рівні (6 балів)

У завданнях 1–6 виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

1. Яка з наведених послідовностей є арифметичною прогресією?

А 2, 6, 18, 36                 Б 3, 6, 9, 12                   В 80, 40, 20, 2      Г3, –6, 18, 20

2. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії  2, 1, , ..., якщо .

А 1                       Б 4,5                             В 1,5                             Г 4

3. Знайдіть різницю арифметичної прогресії 0,5; 0,9; ... .

А 0,4                             Б –0,4                           В 1,6                             Г 

4. Знайдіть другий член геометричної прогресії 25; ; 49; ...  .

А 24                     Б 35                     В 7                       Г 12

5. Знайдіть десятий член арифметичної прогресії 2; 4; 6; ... .

А 20                     Б 22                     В 18                    Г 24

6. Знайдіть суму трьох перших членів геометричної прогресії, якщо , .

А 12                     Б 28                     В 16                     Г 18

Достатній рівень (3 бали)

7. Чи є число 156 членом арифметичної прогресії 2; 9; ...?

8. У геометричній прогресії , . Знайдіть перший член геометричної прогресії.

Високий рівень (3 бали)

9. Запишіть у вигляді звичайного дробу число .

Варіант 2

Початковий і середній рівні (6 балів)

У завданнях 1–6 виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

1. Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

А 3, 7, 11, 15                 Б 3, 9, 27, 81                 В 7, 10, 13, 17      Г25, 22, 19, 15

2. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії 6, 2, , ..., якщо .

А 2                       Б 3                       В 9                       Г 1

3. Знайдіть знаменник геометричної прогресії 2; 0,4; ... .

А 0,1                             Б                      В 0,4                             Г 0,5

4. Знайдіть другий член арифметичної прогресії 3; ; 7; ... .

А 4                       Б 5                       В 6                       Г 2

5. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії , якщо , .

А                      Б                      В 3                       Г 1

6. Знайдіть суму п’яти перших членів арифметичної прогресії, якщо , .

А 45                     Б 40                     В 35                     Г 30

Достатній рівень (3 бали)

7. Чи є членом геометричної прогресії 3; 6; ... число 96?

8. В арифметичній прогресії , а . Для яких членів прогресії виконується умова ?

Високий рівень (3 бали)

9. Запишіть у вигляді звичайного дробу число .

Відповіді та розв’язання до самостійної роботи

Варіант 1

1. Б. 2. Г. 3. А. 4. Б. 5. А. 6. Б.

7. 

Так, є.

Відповідь: так.

8. 

Відповідь: 2.

9. 

0,03; 0,003; ... — геометрична прогресія, .

Відповідь: .

Варіант 2

1. Б. 2. В. 3. Б. 4. Б. 5. Б. 6. А.

7. 

Так, є.

Відповідь: так.

8. 

 для всіх членів починаючи з 31.

9. 

0,23; 0,0023; ... — геометрична прогресія, .

Відповідь: .

Підсумки уроку

1. Чи дізналися ви щось нове на уроці?

2.Що найбільше сподобалось на уроці?

3.Що було важко?

Домашнє завдання

Скласти кросворд по темі

Повт. П.20-22

Вчитель. Як ми переконалися, прогресії застосовуються не тільки в математиці. За законом геометричної прогресії здійснюється поділ нейтронів під час ядерної ланцюгової реакції. Відрізки шляху за рівноприскореного руху утворюють арифметичну прогресію. Геометрична прогресія відіграє велику роль у побудові математичних моделей економіки. Знання прогресій потрібні і в багатьох інших галузях.